傅里叶变换是用三角函数表示目标函数，傅里叶变换广泛的应用在信号处理、偏微分方程、热力学、概率统计等领域：大到天体观测，小到我们手机中图片、音频应用等，没有傅里叶变换就没有如今丰富多彩的信息化时代。在人工智能领域中，可利用傅里叶变换证明中心极限定理，而中心极限定理是概率学最重要的基石；傅里叶变换本质是将时域的信息汇总到频域中，当两组数据的傅里叶变换结果相同时，称为两者依概率收敛。

如果你不想知道傅里叶变换的原理，只是想知道它能做什么事、实现什么功能，推荐阅读链接:An Interactive Introduction to Fourier Transforms或者它的中文版讲解。

从傅里叶级数开始

法国数学家傅里叶认为，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。即使用三角函数集合{1,sin⁡x,cos⁡x,sin⁡2x,cos⁡2x,sin⁡3x,cos⁡3x,...,sin⁡nx,cos⁡nx}\{1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\sin 3x,\cos 3x,...,\sin nx,\cos nx\}在区间[−π,π][-\pi,\pi]作为函数空间一组正交基，目标函数f(x)可写成傅里叶级数：

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n = 1}^\infty{({a_n}\cos nx + {b_n}\sin nx)}

既然是正交基，则满足以下性质：

∫−ππcos⁡mx⋅sin⁡nxdx=0∫−ππcos⁡mx⋅cos⁡nxdx=0(m≠n)∫−ππsin⁡mx⋅sin⁡nxdx=0(m≠n)∫−ππcos⁡mxdx=0(m≠n)\int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos mx \cdot \sin nx dx}= 0\\ \int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos mx \cdot \cos nx dx}= 0 (m \ne n)\\ \int\limits_{ - \pi }^\pi {\sin mx \cdot \sin nx dx}= 0 (m \ne n)\\ \int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos mx dx}= 0 (m \ne n)\\

因此使用f(x)f(x)直接与某一个基卷积，应当会有如下结果：

∫−ππf(x)⋅cos⁡mxdx=∫−ππ(a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx))⋅sin⁡nxdx=a02∫−ππsin⁡nxdx+∑n=1∞an∫−ππcos⁡nx⋅cos⁡mxdx+∑n=1∞bn∫−ππsin⁡nx⋅cos⁡mxdx=amπ\int\limits_{ - \pi }^\pi {f(x) \cdot \cos mx}dx =\int\limits_{ - \pi }^\pi {(\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n = 1}^\infty{({a_n}\cos nx + {b_n}\sin nx)}) \cdot \sin nx}dx \\ =\frac{a_0}{2}\int\limits_{ - \pi }^\pi {\sin nx}dx + \sum\limits_{n = 1}^\infty a_n\int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos nx\cdot\cos mx}dx +\sum\limits_{n = 1}^\infty b_n\int\limits_{ - \pi }^\pi {\sin nx \cdot \cos mx}dx\\ = a_m\pi

同理可以得到各个系数的计算公式：

an=1π∫−ππf(x)⋅cos⁡nxdx(n=0,1,2,...)bn=1π∫−ππf(x)⋅sin⁡nxdx(n=1,2,...)a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {f(x) \cdot \cos nx}dx(n=0,1,2,...)\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {f(x) \cdot \sin nx}dx(n=1,2,...)

从无限长连续信号到有限长离散信号

后面懒得写了，说点关键词吧：香农采样定理、脉冲函数对离散的帮助、等间隔抽样