本章研究一种分析和设计线性系统的图解方法-根轨迹法。首先研究闭环零、极点和开环零、极点的关系，得到根轨迹方程；其次给出以开环增益为可变参数时绘制根轨迹的基本法则；接着又给出以非开环增益为可变参数时绘制广义根轨迹的方法，讨论如何通过根轨迹定性地分析和定量地估算系统性能；最后介绍如何应用根轨迹法设计超前、滞后和超前-滞后控制器对系统进行校正，使其满足瞬态和稳态性能要求。

根轨迹法的基本概念

根轨迹是指当系统中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷大时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根轨迹的基本概念

在第二章中也曾介绍过，一般情况下，前向通道传递函数G(s)和反馈通道传递函数H(s)可分别表示为：

$\begin{aligned} G(s)&=\frac{K_G(\tau_1s+1)(\tau_2^2s^2+2\zeta_1\tau_2s+1)\cdots}{s^\nu(T_1s+1)(T_2^2s^2+2\zeta_2T_2s+1)\cdots}=K_G^*\frac{\prod_{i=1}^{f}(s-z_i)}{\prod_{i=1}^q(s-p_i)}\\ H(s)&=K_H^*\frac{\prod_{j=1}^{f}(s-z_j)}{\prod_{j=1}^q(s-p_j)}\\ K^*&=K_G^*\cdot K_H^* \end{aligned}$

式中，K_G为前向通道增益（常数项的比值），K_G*为前向通道根轨迹增益，K_H*为反馈通道根轨迹增益，K*称为开环传递函数的根轨迹增益。

(1)闭环系统的根轨迹增益，等于开环系统前向通道的根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益。
(2)闭环系统的零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
(3)闭环极点与开环零、极点及根轨迹增益均有关。

根轨迹法的基本任务就在于，如何由已知的开环零、极点分布，通过图解的方法，找出闭环极点的分布，并绘制出根轨迹。然后，根据给定的开环根轨迹增益，找出相应的闭环极点。一旦闭环极点确定之后，闭环传递函数的形式便完全确定，于是就可以分析和估算系统的性能了。

根轨迹方程

绘制根轨迹，实质上就是求闭环系统特征方程1+G(s)H(s)=0的根。假定开环传递函数中有m个零点和n个极点，用零，极点形式表示：

$\begin{gathered} G(s)H(s)=K^*\frac{\prod_{i=1}^m(s-z_i)}{\prod_{i=1}^n(s-p_i)}=-1\\ -1=1\cdot e^{j(2k+1)\pi}\space\space\space k=0，\pm1，\pm2\\ \end{gathered} \\ \begin{aligned} 模值方程：&K^*\frac{\prod_{i=1}^m|s-z_i|}{\prod_{i=1}^n|s-p_i|}=1\\ 相角方程：&\sum_{i=1}^m\angle(s-z_i)-\sum_{i=1}^n\angle(s-p_i)=(2k+1)\pi\space\space\space k=0，\pm1，\pm2 \end{aligned}$

∠(s一z_i)表示开环零点指向闭环极点的向量与正实轴的夹角；∠(S—p_i)表示开环极点指向闭环极点的向量与正实轴的夹角。
例题1
综上所述，应用根轨迹方程绘制根轨迹的基本方法包括以下两步:
(1)在s平面上找到满足相角方程的所有点，并把这些点连成光滑曲线，即为K从0变到无穷时系统的根轨迹。
(2)针对开环传递函数中给定的K值，在根轨迹上找出满足模值方程的点，这就是所要求的闭环极点。
显然，在s平面上用这种逐点试探的方法绘制根轨迹是不现实的。实际上，根轨迹受某些规律的支配。Evans发现了这些规律，提出了一套绘制根轨迹的法则，从而使根轨迹的绘制工作大大简化。

根轨迹绘制的基本法则

根轨迹的分支数:根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶数n，或者说等于开环极点数n。
根轨迹的对称性:根轨迹对称于实轴。
根轨迹的起点与终点:根轨迹起始于开环极点，终于开环零点。若开环零点数m小于开环极点数n，则有n一m条根轨迹分支终于无穷远处。
实轴上的根轨迹：在实轴上自右向左数，凡奇数零极点左边的一段实轴是根轨迹。

例题3

广义根轨迹

绘制系统的根轨迹，并非只能以开环增益K(或K*)为可变参数，它可以是控制系统中的任何一个参数，如开环某一极点或零点等。因此，在控制理论中，把以非开环增益K(或K*)为可变参数绘制的根轨迹称为广义根轨迹或参数根轨迹；而把以开环增益K(或K*)为可变参数绘制的根轨迹称为常规根轨迹。

参数根轨迹

零度根轨迹

零度根轨迹
例题4

用根轨迹法分析系统性能

闭环极点对应的K值与性能分析

不同K值性能

高阶系统的时域性能近似分析

主导极点：对系统响应的动态过程起主导作用的极点。
例题5
在高阶系统所有的闭环极点中:1)距离虚轴最近的极点，2)其周围没有闭环零点，3)且其它极点又远离虚轴，则它对系统的性能影响最大，称为主导极点。闭环主导极点可以是实数极点，也可以是复数极点，或是它们的组合。
偶极子:在高阶系统中，一对靠得很近的闭环零、极点，称为偶极子，它们对系统动态性能影响可忽略不计。
运用闭环主导极点和偶极子的概念，对高阶系统动态性能进行估算。
例题6