5/6 线性系统的频域分析法（下）

线性系统的稳定性分析

频率域稳定判据

推导

总结：

1. 对于每一个s，函数F(s)都有唯一的一个值与之对应，称为映射。s平面的曲线也与F(s)平面曲线相对应。
2. 若s平面的曲线不包围F(s)的零点和极点，则F(s)平面曲线不包围原点，且Гs顺时针时，Г_F也顺时针。
3. 若s平面的曲线Гs顺时针包围F(s)的Z个零点，Г_F也顺时针包围原点Z次；若s平面的曲线Гs顺时针包围F(s)的P个极点，Г_F则逆时针包围原点P次；重根应重复计算。
4. 幅值原理。

线性系统的开环传递函数是有理分式函数，设

$$G(s)H(s)=\frac{B(s)}{A(s)}$$

对应的闭环传递函数为

$$\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{A(s)G(s)}{A(s)+B(s)}$$

取F(s)为以下形式

$$F(s)=1+G(s)H(s)=1+\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{A(s)+B(s)}{A(s)}$$

所以，F(s)的零点是闭环传递函数的极点，F(s)的极点是开环传递函数G(s)H(s)的极点。当系统稳定时，闭环传递函数的所有极点（闭环极点）应位于复平面的虚轴左边，即s右半平面没有闭环极点，等价于F(s)在s右半平面里没有零点。
根据幅角原理，零点数Z有

$$Z=P-R=0$$

其中，P为F(s)的极点数，R为F(s)逆时针包围原点的圈数。

奈奎斯特稳定判据

因为F(s)=1+G(s)H(s)，所以将F(s)左移一个单位即开环传递函数，F(jw)逆时针包围原点就可以等价为开环传递函数G(jw)H(jw)环绕(-1.j0)点。故，引出奈奎斯特稳定判据：

$$Z=P-2N$$

式中，Z：右半平面闭环极点数，P：右半平面开环极点数(开环不稳定极点数)，N：开环系统奈氏曲线G(jw)H(jw)在w从0到∞时，逆时针环绕(-1.j0)点次圈数。如果Z=0，则闭环系统稳定，否则系统不稳定。

补充说明：

1. N=N±N_，N+为自上而下的穿越(相角增大的方向)为正穿越;N-为自下而上的穿越(相角减小的方向)为负穿越。
2. 若0型以上的系统，奈奎斯特曲线则需要补线，应自G(jw)曲线的G(jw)|_{w=0+}起，沿逆时针方向补画一个半径为无穷大，角度为v×90°的圆弧，为统一奈奎斯特曲线的方向，以顺时针方向标示箭头，作示意图时以虚线代表半径为无穷大的圆弧。
3. 对于起点(或终点)位于一1之左的实轴的奈奎斯特曲线，称该曲线对负实轴进行了半次穿越(正负规定同补充说明1)。
   
   注：开环传递函数在s右半平面的极点数与系统是否稳定没有直接关系！

对数频率稳定判据

频域稳定裕度

要保证实际系统能够正常地工作，分析时，不仅要求系统稳定，而且还应具有一定的稳定裕度。系统的开环幅相曲线接近(-1，j0)点的程度，就反映了系统稳定的程度。开环幅相曲线越接近(-1，j0)点，系统的稳定程度越差。

	稳定边界	稳定裕度
时域	虚轴	s左半平面闭环极点到虚轴距离
频域	(-1,j0)	到(-1,j0)的距离

幅值裕度

使开环传递函数相角达到(2k+1)π的频率叫做穿越频率w_x。幅值裕度h：

$$\begin{aligned} 幅值裕度：&h=\frac{1}{|G(j\omega_x)H(j\omega_x)|}\\ 对数幅值裕度：&20\lg h=-20\lg|G(j\omega_x)H(j\omega_x)| \end{aligned}$$

幅值裕度表示了系统在幅值方面的稳定储备量，一般要求h>2

• h(dB)>0，L(w_x)为负值，系统稳定；
• h(dB)<0，L(w_x)为正值，系统不稳定；
• h(dB)=0，L(w_x)为0，系统临界稳定；

相角裕度

使得开环传递函数的幅值等于1的频率为截止频率w_c。相角裕度γ是系统由稳定达到临界稳定状态所需增加的相角滞后量。

$$A(\omega_c)=|G(j\omega_c)|=1或L(\omega_c)=0\\ \gamma=180°+\phi(\omega_c)=180°+\angle G(j\omega_c)H(j\omega_c)$$

幅值裕度表示了系统在相角方面的稳定储备量，一般要求γ>40°

• γ>0，表示奈奎斯特曲线未包围(-1,j0)点，系统稳定；
• γ<0，表示奈奎斯特曲线包围了(-1,j0)点，系统不稳定；
• γ=0，表示奈奎斯特曲线通过了(-1,j0)点，系统临界稳定；

设计控制系统时的目标：为了使系统具有足够的稳定裕度和获得良好的动态性能，一般要求相角裕度γ=30~70度，幅值裕度h=2~2.5或h(dB)=6~8。
Note 1：仅仅用相角裕度或仅仅用幅值裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。只有同时给出相角裕度和幅值裕度时才能表明系统的相对稳定性，但是对于无零点的二阶系统和只要求粗略估算动态性能的高阶系统，一般只要相角裕度就足够了。
Note 2：一阶系统和二阶系统的相角裕度，幅值裕度总是大于0，而幅值裕度h=oo，因此，从理论上讲，系统不可能不稳定。

闭环系统的频域性能指标

控制系统的带宽

带宽频率：为幅频特性衰减到0.707M_0时所对应的频率，通常用w_b表示。
带宽：频率从0到w_b的频率范围，称为系统的带宽。带宽的大小，反映了系统的快速性和复现输入信号的能力。但从抑制噪声角度来说，带宽不宜过大。

二阶闭环系统频域性能指标和时域指标的转换

表示一下闭环频域指标——带宽、开环频域指标——相角裕量γ

$$\begin{aligned} \omega_b&=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2+\sqrt{2-4\zeta^2+4\zeta^4}}\\ \gamma&=180°+\angle G(j\omega_c)=90°-\arctan\frac{\omega_c}{2\zeta\omega_n}\\ &=\arctan\frac{2\zeta\omega_n}{\omega_c}=\arctan[2\zeta(\frac{1}{\sqrt{4\zeta^2+1}-2\zeta^2})^{1/2}] \end{aligned}$$

当0<ζ<0.707时，幅频曲线有峰值出现，这时对应的峰值为谐振峰值M_r，对应的频率为谐振频率w_r。

$$\begin{aligned} &\frac{dM(\omega)}{d\omega}=0\\ \omega_r&=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\\ M_r&=M(\omega_r)=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\\ \sigma\%&=e^{-\pi\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\\ &=exp(-\pi\sqrt{\frac{M_r-\sqrt{M_r^2-1}}{M_r+\sqrt{M_r^2-1}}})\times100\%\\ t_s&=\frac{7}{\omega_c\tan\gamma} \end{aligned}$$

• 已知M_r和σ％都随ζ增加而减小，所以同一系统，M_r和σ％有一致性，M_r增大时，σ％也增大。M_r可以看作是度量系统振荡程度的频域指标。
• 相角裕度γ和阻尼比ζ也是一一对应的关系，且ζ越大，γ越大。
• 二阶系统的调节时间t_s与截止频率w_c和相角裕度γ有关，截止频率w_c越大，调节时间t_s越小。

线性系统的频域法校正

根据校正装置在系统中的连接方式，分为串联校正和反馈校正两种。为了避免功率损耗，串联校正装置通常安置在前向通道偏差测量点之后和放大器之间，或安置在放大器之间。根据校正装置的特性，工程上常用的串联校正有串联超前校正，串联滞后校正和串联滞后-超前校正等。反馈校正装置接在局部反馈通道上，常用的反馈校正有比例反馈校正和测速反馈校正等。
开环系统的伯德图是分析和设计控制系统的重要工具。分析时可将开环对数幅频特性以穿越频率附近为中频段，低于中频的为低频段，高于中频的为高频段。开环系统的对数幅频特性曲线的低频段表征了系统的静态特性，中频段表征了系统的动态特性，而高频段则表征了系统的抗干扰能力。一个特性较好的系统，其各频段有以下特点:
(1)相角裕度γ为30°～60°；幅值裕度h>6dB，则系统的稳定性比较好。当中频段以一20dB/dec的斜率穿越零分贝线，而且这一斜率占有足够的频带宽度，系统会具有较好的稳定性；
(2)截止频率w_c越高，则系统的快速性越好；
(3)低频段的斜率陡，增益高，表示系统的稳态精度好；
(4)高频段衰减得越快，即高频特性负分贝值低，说明系统抗高频噪声干扰的能力越强。

串联超前校正a>1

这里稍作解释：

• 原系统为G，对数幅值为L_0；
• 超前系统为G_c，有最大超前角频率w_m，且有L_c(w_m)=10lga；
• 校正后的系统则为G*G_c，有截止频率w_c’‘，则有L_0(w_c’‘)+L_c(w_c’')=0。

为了得到最大的相角裕度，应有w_m=w_c’'。所以两个方程可以反解出两个频率值。所以求解路线基本就是：相角裕度增量（超前系统的最大相角）-a-最大超前角频率（新系统截止频率）中知道一个然后求剩下两个，进而确定周期T，就可以完整确定超前系统。

应当指出，在有些情况下，串联超前校正无效，它受以下两个因素的限制:
（1）闭环带宽要求。若待校正系统不稳定﹐需要超前网络提供很大的相角超前量，以致a必须很大，造成系统带宽过大，通过系统的高频噪声电平很高。
（2）在截止频率附近相角迅速减小的待校正系统，一般不宜采用串联超前校正。因为随着频率的增大，待校正系统相角迅速减小，超前校正网络难以较多地增大系统的相角裕度。此时，可以考虑用多个超前校正网络串联，或者是采用其他校正形式，如滞后校正。

串联滞后校正b<1

超前、滞后校正的比较

1. 超前校正利用其相位超前特性、获得系统所需要的相位超前量。而滞后校正则利用其高频衰减特性，使截止频率下降，借助于原系统在新的截止频率处的相位，获得系统所需要的相位裕度。
2. 超前校正通常用来改善稳定裕度，滞后校正通常用来提高稳态精度。
3. 超前校正比滞两个指标后校正提供更高的截止频率。高的截止频率意味着大的带宽，从而意味着小的调整时间。因此，如果希望系统具有大的带宽，或者快的响应，应采用超前校正。
4. 超前校正需要由一个附加的增益增量，以抵消超前网络本身的衰减。则表明超前校正比滯后校正需要更大的增益。在多数情况下，增益越大，意味着系统的体积和重量越大， 成本越高，同时会在系统中产生比较大的信号，这种大信号容易造成元件的饱和现象。
5. 滞后校正降低了系统在高频区的增益，但并没有降低系统在低频区的增益。因为降低了高频增益，系统的总增益可以增加，从而低频增益随之增加，因此改善了系统的稳态精度。
6. 滞后校正减小了带宽，因此系统具有较低的响应速度，但系统中包含的任何高频噪音都可以得到衰减。
7. 滞后校正将会在原点附近引进极、零点组合(偶极子) ，这将会在瞬态响应中产生小振幅的长时间拖尾。
8. 如果既需要获得快速响应特性，又需要良好的稳态精度，则可以采用滞后一超前校正。